96年普通高等学校数学统考试题大全

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.

共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题共65分)

注意事项:

1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再

选涂其它答案,不能答在试题卷上.

3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.

一、选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个

选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1)已知全集I=N,集合A={x│x=2n,n∈N},B={x│x=4n,n∈N},则

(A)I＝A∪B (B)I＝∪B(C)I＝A∪ (D)I＝∪

(2)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=log_ax的图象是



(3)若sin²x＞cos²x,则x的取值范围是

(A){x|2kπ－3/4π＜x＜2kπ＋1/4π，k∈Z}

(B){x|2kπ＋1/4π＜x＜2kπ＋5/4π，k∈Z}

(C){x|kπ－1/4π＜x＜kπ＋1/4π，k∈Z}

(D){x|kπ＋1/4π＜x＜kπ＋3/4π，k∈Z}

(4）复数(2＋2i)⁴/(1－i)⁵

(A)1＋i (B)－1＋i (C)1－i (D)－1－i

(5)如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ

(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ

(6)当－π/2≤x≤π/2，函数f(x)＝sinx＋cosx的

(A)最大值是1，最小值是－1(B)最大值是1，最小值是1/2

(C)最大值是2，最小值是－2(C)最大值是2，最小值是－1

(7)椭圆的两个焦点坐标是

(A)(－3,5)，(－3,－3)(B)(3,3)，(3,－5)

(C)(1,1)，(－7,1)(D)(7,－1)，(－1,－1)

(8)若0＜a＜π/2，则arcsin[cos(π/2＋a)]＋arccos[sin(π＋a)]等于

(A)π/2(B)－π/2(C)π/2－2a(D)－π/2－2a

(9)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD＝a,则三棱锥D-ABC的体积为

(A)a³/6(B)a³/12(C)(/12)a³(D)(/12)a³

(10)等比数列{a_n}的首项a₁＝－1，前n项和为S_n，若S₁₀/S₅＝31/32，则limS_n等于

(A)2/3(B)－2/3(C)2(D)－2

(11)椭圆的极坐标方程为ρ＝3/(2－cosθ)，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是

(A)(3,0)，(1,π)(B)(,π/2)，(,3π/2)

(C)(2,π/3)，(2,5π/3)(D)(,arctg(/2))，(,2π－arctg(/2))

(12)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为

(A)130(B)170 (C)210 (D)260

(13)设双曲线x²/a²－y²/b²＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0,b)两点，已知原点到直线

l的距离为/4c，则双曲线的离心率为

(A)2 (B) (C) (D)2/3

(14)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角ψ等于

(A)2/3π(B)2/3π(C)π(D)2/3π

(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于

(A)0.5 (B)-0.5(C)1.5 (D)-1.5


第Ⅱ卷(非选择题共85分)

注意事项：

1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.

(16)已知圆x²+y²-6x-7=0与抛物线y²=2px(p>0)的准线相切.则P=_______.

(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有_____个(用数字作答).

(18)tg20°＋tg40°＋tg20°tg40°的值是_______

(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角,则异面直线AD 与BF所成角的余弦值是______.

三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

得分 评卷人

(20)本小题满分11分

解不等式log_a(1－1/x)＞0

得分 评卷人

(21)本小题满分12分

已知△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，1/cosA＋1/cosA＝－/cosB，求cos(A－B)/2

的值。

得分 评卷人

(22)本小题满分12分

如图,在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,E∈BB₁，截面A₁EC⊥侧面AC₁.

(Ⅰ)求证:BE=EB1;

(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁;求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角(锐角)的度数.



注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).

(Ⅰ)证明:在截面A₁EC内,过E作EG⊥A₁C,G是垂足.

① ∵__________________________________

∴EG⊥侧面AC₁;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,

② ∵___________________________________

∴BF⊥侧面AC₁;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC₁于FG.

③ ∵ __________________________________


∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,

④ ∵_________________________________

∴FG∥AA₁,△AA₁C∽△FGC,

⑤ ∵_________________________

(Ⅱ)解:

得分 评卷人

(23)本小题满分10分

某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果

人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷)?

(粮食单产＝总产量/耕地面积，人均粮食占有量＝总产量/总人口数)

得分 评卷人

(24)本小题满分12分

已知l₁、l₂是过点P(－1,,0)的两条互相垂直的直线，且l₁、l₂与双曲线y²－x²＝1各有两个交点，

分别为A₁、B₁和A₂、B₂

(Ⅰ)求l₁的斜率k₁的取值范围Ⅲ

(Ⅱ)若|A₁B₁|＝|A₂B₂|，求l₁、l₂的方程

得分 评卷人

(25)本小题满分12分

已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax²+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1.

(Ⅰ)证明:│c│≤l;

(Ⅱ)证明:当-1≤x≤1时,│g(x)│≤2;

(Ⅲ)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).


1996年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准

说明:

一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法

与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,

可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部

分的解答有较严重的错误,就不再给分.

三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分.满分65分.

(1)C (2)A (3)D (4)B (5)A

(6)D (7)B (8)A (9)D (10)B

(11)C(12)C (13)A(14)D (15)B

二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.


(16)2(17)32(18)(19)/4

(20)本小题考查对数函数性质,对数不等式的解法,分类讨论的方法和运算能力.满分11分.

解：(Ⅰ)当a＞1时,原不等式等价于不等式组:

	1－1/x＞0	2分
	1－1/x＞a

由此得1－a＞1/x

因为1-a<0,所以x<0,

∴1/(1－a)＜x＜05分

(Ⅱ)当0<a<1时,原不等式等价于不等式组:

	1－1/x＞0①	7分
	1－1/x＜a②

由①得,x＞1或x＜0,

由②得,0＜x＜1/(1－a)，

∴1＜x＜1/(1－a)。10分

综上，当a＞1时，不等式的解集为{x|1/(1－a)＜x＜0}，

0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜1/(1－a)}.11分

(21)本小题考查三角函数基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的能力.满分12分.

解法一：由题设条件知B=60°,A+C=120°. 2分

∵－/cos60°＝－2

∴1/cosA＋1/cosC＝－2

将上式化简为cosA＋cosC＝－2cosAcosC

利用和差化积及积化和差公式,上式可化为

2cos(A＋C)/2cos(A－C)/2=－[cos(A＋C)＋cos(A－C)]

将cos(A＋C)/2＝cos60°＝1/2，cos(A＋C)＝－1/2代入上式得

cos[(A－C)/2]＝/2－cos(A－C)

将cos(A－C)＝2[cos²(A－C)/2]－1代入上式并整理得

4cos²(A－C)/2＋2cos(A－C)/2－3＝0

2cos[(A－C)/2－][2cos(A－C)/2＋3]＝0

2cos(A－C)/2＋3≠0

2cos(A－C)/2－＝0

从而得cos(A－C)/2＝/212分

解法二：由题设条件知B=60°,A+C=120°.

设α＝(A－C)/2，则A－C＝2α，可得A＝60°＋α，C＝60°－α3分

所以1/cosA＋1/cosC＝1/cos(60°＋α)＋1/cos(60°－α)

＝1/(1/2cosα－/2sinα)+1/(1/2cosα＋/2sinα)

＝cosα/(cos2α－3/4)7分

依题设条件有cosα/(cos2α－3/4)＝－/cosB

∵cosB＝1/2

∵cosα/(cos2α－3/4)＝－2

整理得4cos2α＋2cosα－3＝0

(2cosα－)(2cosα＋3)＝0

2cosα＋3≠0

2cosα－＝0

从而得cos(A－C)/2＝/212分

(22)本小题考查空间线面关系,正三棱柱的性质,逻辑思维能力,空间想象能力及运算能力.满分12分.

(Ⅰ)	①∵面A1EC⊥侧面AC1, 2分
	②∵面ABC⊥侧面AC1, 3分
	③∵BE∥侧面AC1, 4分
	④∵BE∥AA1, 5分
	⑤∵AF=FC, 6分

(Ⅱ)解：分别延长CE、C₁B₁交于点D,连结A₁D.



∵CC₁⊥面A₁C₁B₁,即A₁C₁是A₁C在平面A₁C₁D上的射影,根据三垂线定理得DA₁⊥A₁C,

所以∠CA₁C₁所求二面角的平面角. 11分

∵CC₁=AA₁=A₁B₁=A₁C₁,∠A1C1C=90°,

∴∠CA₁C₁=45°,即所求二面角为45°. 12分

(23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力,指数函数和二项式定理的应用,近

似计算的方法和能力.满分10分.

解：设耕地平均每年至多只能减少X公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨/公顷.

依题意得不等式



答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷. 10分

(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质,解析几何的基本思想,以及综合运用知识的能力.满分12分.

有两个不同的解.在方程组①中消去y,整理得

有两个不同的解.在方程组③中消去y,整理得

又因为l₁⊥l₂,所以有k₁·k₂=-1. 4分

于是,l₁、l₂与双曲线各有两个交点，等价于

(Ⅱ)设A₁(x₁y₁),B1(x₂y₂)1.由方程②知

∴│A₁B₁│2=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²

将⑤、⑥代入上式得

(25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与

解决问题的能力。满分12分.

(Ⅰ)证明：由条件当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1,取x=0得

│c│=│f(0)│≤1,

即│c│≤1. 2分

(Ⅱ)证法一：当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,

∴g(-1)≤g(x)≤g(1),

∵│f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1,

∴g(1)=a+b=f(1)-c≤│f(1)│+│c│≤2,

g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(│f(-1)│+│c│≥－2,

由此得│g(x)│≤2; 5分

当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,

∴g(-1)≥g(x)≥g(1),

∵│f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1,

∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤│f(-1)│+│c│≤2,

g(1)=a+b=f(1)-c≥-(│f(1)│+│c│)≥-2,

由此得│g(x)│≤2; 7分

当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c.

∵-1≤x≤1,

∴│g(x)│=│f(1)-c│≤│f(1)│+│c│≤2.

综上得│g(x)│≤2. 8分

根据含绝对值的不等式的性质,得

即 │g(x)│≤2. 8分

(Ⅲ)因为a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当x=1时取得最大值2,

即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2.①

∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,

∴c=f(0)=-1. 10分

因为当-1≤x≤1时,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),

根据二次函数的性质,直线x=0为f(x)的图象的对称轴,由此得

由① 得a=2.

所以 f(x)=2x²-1. 12分

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