局部异常因子算法-Local Outlier Factor(LOF)

在数据挖掘方面，经常需要在做特征工程和模型训练之前对数据进行清洗，剔除无效数据和异常数据。异常检测也是数据挖掘的一个方向，用于反作弊、伪基站、金融诈骗等领域。
异常检测方法，针对不同的数据形式，有不同的实现方法。常用的有基于分布的方法，在上、下α分位点之外的值认为是异常值（例如图1），对于属性值常用此类方法。基于距离的方法，适用于二维或高维坐标体系内异常点的判别，例如二维平面坐标或经纬度空间坐标下异常点识别，可用此类方法。

这次要介绍一下一种基于距离的异常检测算法，局部异常因子LOF算法（Local Outlier Factor）。
用视觉直观的感受一下，如图2，对于C1集合的点，整体间距，密度，分散情况较为均匀一致，可以认为是同一簇；对于C2集合的点，同样可认为是一簇。o1、o2点相对孤立，可以认为是异常点或离散点。现在的问题是，如何实现算法的通用性，可以满足C1和C2这种密度分散情况迥异的集合的异常点识别。LOF可以实现我们的目标。

下面介绍LOF算法的相关定义：
1) d(p,o)：两点p和o之间的距离；
2) k-distance：第k距离
对于点p的第k距离dk(p)定义如下：
dk(p)=d(p,o)，并且满足：
a) 在集合中至少有不包括p在内的k个点o,∈C{x≠p}， 满足d(p,o,)≤d(p,o) ；
b) 在集合中最多有不包括p在内的k-1个点o,∈C{x≠p}，满足d(p,o,)<d(p,o) ；
p的第k距离，也就是距离p第k远的点的距离，不包括p，如图3。

3) k-distance neighborhood of p：第k距离邻域
点p的第k距离邻域Nk(p)，就是p的第k距离即以内的所有点，包括第k距离。
因此p的第k邻域点的个数 |Nk(p)|≥k。
4) reach-distance：可达距离
点o到点p的第k可达距离定义为：
reach-distancek(p,o)=max{k-distance(o),d(p,o)}
也就是，点o到点p的第k可达距离，至少是o的第k距离，或者为o、p间的真实距离。
这也意味着，离点o最近的k个点，o到它们的可达距离被认为相等，且都等于dk(o)。
如图4，o1到p的第5可达距离为d(p,o1)，o2到p的第5可达距离为d5(o2)。

5) local reachability density：局部可达密度
点ｐ的局部可达密度表示为：

表示点p的第k邻域内点到p的平均可达距离的倒数。
注意，是p的邻域点Nk(p)到p的可达距离，不是p到Nk(p)的可达距离，一定要弄清楚关系。并且，如果有重复点，那么分母的可达距离之和有可能为0，则会导致lrd变为无限大，下面还会继续提到这一点。
这个值的含义可以这样理解，首先这代表一个密度，密度越高，我们认为越可能属于同一簇，密度越低，越可能是离群点。如果p和周围邻域点是同一簇，那么可达距离越可能为较小的dk(o)，导致可达距离之和较小，密度值较高；如果p和周围邻居点较远，那么可达距离可能都会取较大值d(p,o)，导致密度较小，越可能是离群点。
6) local outlier factor：局部离群因子
点p的局部离群因子表示为：

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